Пусть функция определена в некоторой окрестности точки z 0 .

Определение 1. Отображение называется конформным в точке z 0 , если оно обладает свойствами сохранения углов и постоянства растяжений в точке z 0 .

Пусть функция f(z) однолистная в конечной области E .

Определение 2. Отображение называется конформным в области E , если оно конформно в каждой точке этой области.

Очевидно, линейная функция (b и a ¹ 0 – комплексные числа) осуществляет конформное отображение всей комплексной плоскости z на комплексную плоскость w. Ради наглядности совместим эти плоскости так, чтобы начала и оси координат совпадали. Тогда в частности w = z + z 0 осуществляет сдвиг всей плоскости на вектор z 0 , (a - действительное) – поворот плоскости вокруг начала координат на угол a, а w = kz (k > 0) – преобразование подобия, k – коэффициент подобия. Записав линейную функцию в виде видим, что ее можно представить как произведение операций сдвига, подобия и вращения. Т. к. при этих операциях свойства сохранения углов и постоянства растяжений очевидны, то это отображение конформно.

Углом между прямыми , проходящими через бесконечно удаленную точку, называют угол между образами этих кривых при отображении в точке w = 0.

Например, оси декартовой системы координат пересекаются в нуле под углом Поскольку на расширенной комплексной плоскости бесконечно удаленная точка одна, то оси пересекаются и в бесконечно удаленной точке При отображении оси координат отображаются сами в себя (плоскости z и w совмещены) и, следовательно, в бесконечно удаленной точке они пересекаются также под углом

Определение 2 распространяют на любую область расширенной комплексной плоскости. Если доопределить линейную функцию, полагая при то можно убедиться, что она конформно отображает расширенную комплексную плоскость z w.

Отметим свойства функции f (z ), которыми она должна обладать, чтобы отображение, осуществляемое ею, было конформным.

Теорема 1. Если функция f (z ) однолистная в области Е расширенной комплексной плоскости и аналитическая всюду за исключением быть может одной точки в которой но то отображение w = f(z) области Е на область G значений функции конформно (без доказательства).

Рассмотрим дробно-линейную функцию При с = 0 она переходит в линейную, рассмотренную выше, поэтому положим с ¹ 0. Дробно-линейная функция однолистная на всей комплексной плоскости, т. к. обратная функция однозначная. Она аналитическая всюду, исключая точку В ней она обращается в бесконечность,

Функция удовлетворяет теореме 1 на всей комплексной плоскости, следовательно, конформна на всей комплексной плоскости. Доопределим функцию, полагая при и при Можно убедиться, что в этом случае дробно линейная функция конформно отображает расширенную комплексную плоскость z на расширенную комплексную плоскость w .

Справедливо и обратное утверждение, если функция конформно отображает расширенную комплексную плоскость z на расширенную комплексную плоскость w , то эта функция дробно-линейная.

Прямую на расширенной комплексной плоскости будем считать окружностью бесконечного радиуса. Можно доказать, что любую окружность на расширенной комплексной плоскости дробно-линейная функция отображает на окружность, а полуплоскость – в круг. При этом всякое дробно-линейное отображение полуплоскости z > 0 на круг имеет вид

где Im z 0 >0, a - действительное.

Рассмотрим функцию

которую называют функцией Жуковского.

Функция (2) определена и однозначна на всей комплексной плоскости (исключая точку z = 0), но не однолистна на ней, т. к. обратная функция неоднозначная. Точки являются точками ветвления.

Найдем область однолистности. Для этого положим, что две различные точки z 1 и z 2 отображаются в одну и ту же точку w . Тогда получим

Таким образом, всякая область, не содержащая ни одной пары точек, удовлетворяющей условию будет областью однолистности функции Жуковского. Этому условию удовлетворяет, например, круг ½z ½< 1 или внешность этого круга ½z ½> 1. В этих областях функция (2) удовлетворяет теореме 1 и, следовательно, отображает эти области конформно.

Найдем область, на которую конформно отображает функция Жуковского круг ½z ½< 1. Положим Подставляя в (2) и отделяя действительную u и мнимую v части, получим

Уравнения (3) есть уравнения эллипса с полуосями

Таким образом, всякая окружность отображается в эллипсе. Из (4) следует, что при r ®1 a ®1, b ®0, т. е. граница круга ½z ½< 1 отображается в дважды пробегаемый отрезок ½u ½£ 1 действительной оси плоскости w . При r ®0 и , следовательно, круг ½z ½< 1 отображается на расширенную комплексную плоскость w с разрезом от точки z = -1 до точки z = 1 (см. рис 6¢).

Аналогично можно убедиться, что и внешность круга ½z ½> 1 отображается функцией Жуковского на расширенную комплексную плоскость с тем же разрезом. Таким образом, функция Жуковского отображает расширенную комплексную плоскость на поверхность Римана, состоящую из двух плоскостей склеенных по разрезу действительной оси от точки z = -1 до точки z = 1.

Основная задача теории конформных отображений заключается в нахождении функции, отображающей одну заданную область на другую заданную область. Достаточно простого алгоритма решения этой задачи не существует, поэтому на практике следует руководствоваться общими условиями существования конформного отображения и общими принципами. Перечислим важнейшие из них. Во-первых, нельзя конформно отобразить многосвязную область на односвязную, а во-вторых, нельзя всю комплексную плоскость конформно отобразить на конечную область. Однако, две произвольные односвязные области, границы которых состоят более, чем из одной точки, всегда можно конформно отобразить друг на друга.

Теорема 2 (принцип соответствия границ). Если функция w = f (z ) конформно отображает одну область на другую, то она взаимно однозначно отображает и границы этих областей (без доказательства).

Справедлива и обратная теорема. Если функция w = f (z ), аналитическая в области Е и непрерывная на ее границе, однозначно отображает эту границу на некоторую кривую Г , то функция f (z ) конформно отображает область Е на область G , границей которой является кривая Г .

Пример. Найти такое конформное отображение верхней полуплоскости с разрезом по мнимой оси от точки z = 0 до точки z = i (см. рис. 7 а) на единичный круг, чтобы точка отобразилась в центр этого круга.

Решение. Разгладим сначала разрез. Т.к. на разрезе точки имеют аргумент p/2, то воспользуемся функцией w 1 = z 2 , поскольку она удваивает аргумент точки. Эта функция аналитическая и однолистная в верхней полуплоскости и поэтому конформно отображает заданную область на плоскость w , с разрезом [-1,¥) (см. рис. б).

Согласно принципу соответствия границ ломаная ABCDA отобразится в разрез ABCDA плоскости w 1 . Обозначения соответственных точек при отображении на рисунках сохранены. Буквой A обозначена бесконечно удаленная точка плоскости z (а также плоскостей w 1 , w 2 и w 3).

Осуществим теперь сдвиг комплексной плоскости w 1 так, чтобы точка С попала в начало координат. Для этого воспользуемся линейным отображением w 2 = w 1 + 1 (см. рис. в).

Затем комплексную плоскость w 2 с разрезом и (I, +оо[ Плоскость с разрезом по действительному лучу Плоскость с разрезом по отрезку (О, 1J № 21 1лоскость с разрезами ю лучам, лежащим ia прямой, проходящей через ачало координат по действительным лучам ]-«ю, 0] и (1. Плоскость с разрезом по действительному лучу (0, +во(Плоскость с разрезом по дуге окружности Ixl - 1, lm z > О Плоскость с разрезом по дуге окруж ности III - I, Re z > О Плоскость с разрезом по действительн ому лучу (0, Плоскость с разрезом no дуге окруж ности Плоскость с разрезом по действительному лучу [С, + со [ № 25 Полуплоскость с разрезами Полуплоскость l с разрезом по отрезку с разрезом по мнимому лучу Круг с разрезами Круг 1 с разрезом по отрезку (1/2, 1J №30 Плоскость с разрезом по отрезку {-1, 5/4] Круг Izl с разрезами по отрезкам (-1. -1/2] и (1/2, 1] № 31 Плоскость с разрезами по отрезиам I -5/4, 5/4] Круг Ijl симметричными разрезами по мнимой оси Круг lie с симметричными разрезами по действительной оси Внешность круга с разрезами Внешность единичного круга I с разрезом по отрезку и 11, 2) №34 Плоскость с разрезом по отрезку [ -1, 5/4] Плоскость с разрезом по отрезку I - 5/4, 3/4] w = e"^z Внешность единичного круга Izl > 1 с разрезами по отрезкам, являющимися продолжениями его диаметра Внешность единичного круга Iwl > 1 с разрезами по отрезкам, лежащим на действительной оси Полуируг с разрезами -г2 Nfc 36 Круг Iwl с разрезом по отрезку [ -1/4, 1] Полукруг, с разрезом по отрезку (0, i/2) Полукруг, с разрезом по отрезку (рис. 13). При этом области

(нижний полукруг и верхняя полуплоскость с выкинутым полукругом) переходят в верхнюю полуплоскость , а области (верхний по-лукруг и нижняя полуплоскость с выкинутым полукругом) переходят в нижнюю полуплоскость .

7. - дробно-линейная функция. Ее основные свойства приведены в теоретической части занятий 7, 8.

На практике часто встречаются области следующих типов, которые бывает надо отобразить конформно на верхнюю полуплоскость.

1. Области, границы которых имеют две угловые точки (рис. 14).

Используя какую-нибудь дробно-линейную функцию, отобразить

одну из угловых точек в 0, а другую в , после чего получится угол с вершиной в начале координат. Далее осуществить поворот и применить степенную функцию.

2. Круг, внешность круга или полукруг с разрезом (рис. 15).

Применить преобразование подобия и функцию Жуковского, после чего получится плоскость или полуплоскость с разрезами.

3. Области, ограниченные окружностями (прямыми) или дугами окружностей, которые имеют точку касания (рис. 16).

Используя дробно-линейную функцию, отобразить точку касания в , после чего получится полоса или полуполоса. Далее применить показательную функцию.

4. Области, границы которых имеют три и более угловых точек (рис.17).

Используя степенную функцию, выпрямить некоторые из углов.

Задачи

1. Найти образ прямой при отображении .

Решение . Пусть Тогда из условия Re z = и равенства , т.е. равенства имеем х = , откуда, исключая x и y, получим . Следовательно, образом прямой Re z = будет парабола .

2. Найти образы прямых при отображении .

Решение . Считая , из равенства

находим: . Присоединяя к этим равенствам условие и исключая из полученных равенств х и у, получим . Это уравнение описывает логарифмическую спираль при и луч при = 0.

3. Найти образ верхней полуплоскости с разрезом по отрезку , при отображении .

Решение. Функция отображает верхнюю полуплоскость, рассматриваемую как угол , на угол , т.е. на плоскость с разрезом по действительной положительной полуоси . Из этой области надо выкинуть еще образ отрезка при отображении . Отрезок задается условиями х = 0, . Из этих условий и равенств полу-чаемых из равенства , исключая х и у, получим: . Значит, образом отрезка будет отрезок , а образом исходной области будет плоскость с разрезом по лучу .

4. Найти какие-нибудь конформные отображения на верхнюю полуплоскость Im z > 0 следующих областей:

в) плоскость с разрезом по лучам и ;

г) верхнюю полуплоскость с разрезом по отрезку ;

д) внешность единичного круга с центром в точке 0 и с разрезом по лучу ;

е) верхнюю половину единичного круга с разрезом по отрезку ;

ж) сектор ;

з) полуполосу ;

л) полосу с разрезом по лучу .

Решение. Последовательности отображений, с помощью которых осуществляются конформные отображения заданных областей на верхнюю полуплоскость, а также области, получаемые при этих отображениях, указаны на следующих рисунках.

Границы заданной области имеет две угловые точки -1 и 1, которые с помощью функции z 1 отображаются соответственно в и 0. Точка z = угловой точкой границы не является, так как на бесконечности лучи и , рассматриваемые как единая часть прямой Im z = 0, угол не образуют. Функция z 1 отображает заданную область на угол величины с вершиной в начале координат, который с помощью степенной функции отображается на угол величины , т.е. на верхнюю полуплоскость.

Так как при отображении z 1 лучи и в совокуп-ности переходят в один луч , то образом заданной области при отображении z 1 будет вся плоскость с разрезом по лучу , т.е. угол величины с вершиной в начале координат, который с по-мощью функции отображается на верхнюю полуплоскость.

Функция Жуковского z 1 отображает внешность единичного круга на внешность отрезка , а разрез по лучу на луч . Поэтому образом исходной области при отображении z 1 будет внешность отрезка , откуда выкидывается еще луч , т.е. будет плоскость с разрезом по лучу .

Преобразование отображает единичный верхний полукруг на единичный круг с разрезом по отрезку , а отрезок на отрезок , поэтому образом исходной области при отображении z 1 будет единичный круг с разрезами по отрезкам и . Полученная область отображается функцией Жуковского z 2 на плоскость с разрезом по лучу , так как при этом отображении единичный круг переходит во внешность отрезка , отрезок на отрезок , а отрезок на луч .

Граница исходной области имеет точку касания z = 0, которая с помощью функции отображается в . При этом сама область переходит в полосу.

Для отображения полуполосы, изображенной на плоскости z 3 , на верхнюю полуплоскость воспользовались ответом примера з), где брали . Тогда .

При отображении полоса переходит в угол , т.е. в плоскость с разрезом по лучу , а разрез переходит в луч , поэтому исходная область переходит в плоскость с разрезами по лучам и . Далее воспользовались ответом примера в).

5. Отобразить полукруг на круг так, чтобы .

Решение. Сначала найдем какое-нибудь конформное отображение заданного полукруга на верхнюю полуплоскость. Одно из таких отображений дается последовательностью конформных отображений, указанных на следующих рисунках.

отображает заданный полукруг конформно на верхнюю полуплоскость. При этом внутренняя точка перейдет в точку , а граничная точка 2 в точку 1. Отобразим теперь полуплоскость на круг так, чтобы точка перешла в точку 0, а точка 1 в точку 1. Так как искомое отображение является дробно- линейным, то при этом согласно свойству симметрии дробно-линейной функции точка , симметричная точке относительно границы полуплоскости , перейдет в точку , симметричную точке 0 относительно границы круга . Следовательно, искомое отображение переводит точки , , 1 соответственно в точки 0, , 1. Оно находится из соотношения

где . Эта функция отображает заданный полукруг на единичный круг так, что .