Что такое гравитационные маневры. Гравитационный маневр для космических аппаратов Возмущения и коррекции

Существует еще один способ разогнать объект до скорости, близкой к скорости света, - воспользоваться «эффектом пращи», При отправке космических зондов к другим планетам NASA иногда заставляет их совершить маневр вокруг соседней планеты, чтобы, воспользовавшись «эффектом пращи», дополнительно разогнать аппарат. Так NASA экономит ценное ракетное топливо. Именно таким образом аппарату «Вояджер-2» удалось долететь до Нептуна, орбита которого лежит у самого края Солнечной системы.

Фримен Дайсон, физик из Принстона, выдвинул интересное предложение. Если когда-нибудь в далеком будущем человечеству удастся обнаружить в космосе две нейтронные звезды, обращающиеся вокруг общего центра с большой скоростью, то земной корабль, пролетев совсем рядом с одной из этих звезд, может за счет гравитационного маневра набрать скорость, равную чуть ли не трети скорости света. В результате корабль разогнался бы до околосветовых скоростей за счет гравитации. Теоретически такое может получиться.

Только на самом деле этот способ разогнаться при помощи гравитации не сработает. (Закон сохранения энергии говорит о том, что тележка на американских горках, разгоняясь на спуске и замедляясь на подъеме, оказывается наверху ровно с той же скоростью, что и в самом начале - никакого приращения энергии не происходит. Точно так же, обернувшись вокруг неподвижного Солнца, мы закончим ровно с той же скоростью, с какой начали маневр.) Метод Дайсона с двумя нейтронными звездами в принципе мог бы сработать, но только потому, что нейтронные звезды быстро движутся. Космический аппарат, использующий гравитационный маневр, получает приращение энергии за счет движения планеты или звезды. Если они неподвижны, подобный маневр ничего не даст.

А предложение Дайсона, хотя и может сработать, ничем не поможет сегодняшним земным ученым - ведь для того, чтобы наведаться к быстро вращающимся нейтронным звездам, потребуется для начала построить звездолет.

Из пушки в небеса

Еще один хитроумный способ вывести корабль в космос и разогнать до фантастических скоростей - выстрелить им из рельсовой электромагнитной «пушки», которую описывали в своих произведениях Артур Кларк и другие авторы-фантасты. В настоящее время этот проект всерьез рассматривается как возможная часть противоракетного щита программы «звездных войн».

Способ заключается в том, чтобы вместо ракетного топлива или пороха использовать для разгона ракеты до высоких скоростей энергию электромагнетизма.

В простейшем случае рельсовая пушка представляет собой два параллельных провода или рельса; реактивный снаряд, или ракета, «сидит» на обоих рельсах, образуя U-образную конфигурацию. Еще Майкл Фарадей знал, что на рамку с электрическим током в магнитном поле действует сила. (Вообще говоря, на этом принципе работают все электродвигатели.) Если пропустить через рельсы и снаряд электрический ток силой в миллионы ампер, вокруг всей системы возникнет чрезвычайно мощное магнитное поле, которое, в свою очередь, погонит снаряд по рельсам, разгонит его до громадной скорости и вышвырнет в пространство с оконечности рельсовой системы.

Во время испытаний рельсовые электромагнитные пушки успешно выстреливали металлические объекты с громадными скоростями, разгоняя их на очень короткой дистанции. Что замечательно, в теории обычная рельсовая пушка способна выстреливать металлический снаряд со скоростью 8 км/с; этого достаточно, чтобы вывести его на околоземную орбиту. В принципе весь ракетный флот NASA можно было бы заменить рельсовыми пушками, которые прямо с поверхности Земли выстреливали бы полезный груз на орбиту.

Рельсовая пушка имеет существенные преимущества по отношению к химическим пушкам и ракетам. Когда вы стреляете из ружья, максимальная скорость, с которой расширяющиеся газы способны вытолкнуть пулю из ствола, ограничена скоростью распространения ударной волны. Жюль Берн в классическом романе «С Земли на Луну» выстрелил снаряд с астронавтами к Луне при помощи пороха, но на самом деле несложно подсчитать, что максимальная скорость, которую может придать снаряду пороховой заряд, во много раз меньше скорости, необходимой для полета к Луне. Рельсовая же пушка не использует взрывное расширение газов и потому никак не зависит от скорости распространения ударной волны.

Но у рельсовой пушки свои проблемы. Объекты на ней ускоряются так быстро, что они, как правило, сплющиваются из-за столкновения... с воздухом. Полезный груз оказывается сильно деформированным в процессе «выстрела» из дула рельсовой пушки, потому что когда снаряд врезается в воздух, это все равно как если бы он ударился о кирпичную стенку. Кроме того, при разгоне снаряд испытывает громадное ускорение, которое само по себе способно сильно деформировать груз. Рельсы необходимо регулярно заменять, так как снаряд при движений также деформирует их. Более того, перегрузки в рельсовой пушке смертельны для людей; человеческие кости просто не выдержат подобного ускорения и разрушатся.

Одно из решений состоит в том, чтобы установить рельсовую пушку на Луне. Там, за пределами земной атмосферы, снаряд сможет беспрепятственно разгоняться в вакууме открытого космоса. Но даже на Луне снаряд при разгоне будет испытывать громадные перегрузки, способные повредить и деформировать полезный груз. В определенном смысле рельсовая пушка - антипод лазерного паруса, который набирает скорость постепенно в течение долгого времени. Ограничения рельсовой пушки определяются именно тем, что она на небольшом расстоянии и за небольшое время передает телу громадную энергию.

Рельсовая пушка, способная выстрелить аппарат к ближайшим звездам, стала бы весьма дорогостоящим сооружением. Так, один из проектов предусматривает строительство в открытом космосе рельсовой пушки длиной в две трети расстояния от Земли до Солнца. Эта пушка должна будет накапливать солнечную энергию, а затем разом расходовать ее, разгоняя десятитонную полезную нагрузку до скорости, равной трети скорости света. При этом «снаряд» будет испытывать перегрузку в 5000 g. Разумеется, «пережить» такой пуск смогут только самые выносливые корабли-роботы.

Сопряжены с огромным расходом энергии. Например, ракета-носитель «Союз», стоящая на стартовом столе и готовая к запуску, весит 307 тонн, из которых более 270 тонн составляет топливо, то есть львиная доля. С необходимостью тратить сумасшедшее количество энергии на передвижение в космическом пространстве во многом связаны трудности освоения дальних рубежей Солнечной системы.

К большому сожалению, технического прорыва на этом направлении пока не ожидается. Масса топлива остаётся одним из ключевых факторов при планировании космических миссий, и инженеры пользуются любой возможностью сэкономить горючее, чтобы продлить работу аппарата. Одним из способов экономии являются гравитационные маневры.

Как летают в космосе и что такое гравитация

Принцип перемещения аппарата в безвоздушном пространстве (среде, от которой невозможно оттолкнуться ни винтом, ни колёсами, ничем другим) един для всех типов, изготовленных на Земле, ракетных двигателей. Это - реактивная тяга. Противостоит мощности реактивного двигателя гравитация. Это сражение с законами физики было выиграно советскими учёными в 1957 году. Впервые в истории аппарат, сделанный руками человека, приобретя первую космическую скорость (около 8 км/с), стал искусственным спутником планеты Земля.

Для того чтобы вывести на околоземную орбиту аппарат весом чуть более 80 кг, потребовалось около 170 тонн (именно столько весила ракета Р-7, доставившая спутник на орбиту) железа, электроники, очищенного керосина и жидкого кислорода.

Из всех законов и принципов мироздания гравитация - это, пожалуй, один из основных. Она заправляет всем, начиная с устройства элементарных частиц, атомов, молекул и заканчивая движением галактик. Она же является и препятствием на пути освоения космического пространства.

Не только топливо

Ещё до запуска первого искусственного спутника Земли учёные чётко понимали, что не только увеличение размеров ракет и мощности их двигателей может быть залогом успеха. К поиску таких хитростей исследователей подтолкнули результаты расчётов и практических испытаний, показавших насколько затратны по горючему полёты за пределы земной атмосферы. Первым таким решением для советских конструкторов стал выбор площадки строительства космодрома.

Объяснимся. Чтобы стать искусственным спутником Земли, ракете необходимо разогнаться до 8 км/с. Но и наша планета сама находится в непрерывном движении. Любая точка, расположенная на экваторе, вращается со скоростью более 460 метров в секунду. Таким образом, ракета, вышедшая в в районе нулевой параллели, сама по себе будет иметь бесплатных почти полкилометра в секунду.

Именно поэтому на широких просторах СССР было выбрано место поюжнее (скорость суточного вращения в Байконуре составляет около 280 м/с). Ещё более амбициозный проект, направленный на то, чтобы уменьшить влияние гравитации на ракету-носитель, появился в 1964 году. Им стал первый морской космодром «Сан-Марко», собранный итальянцами из двух и расположенный на экваторе. Позднее этот принцип лёг в основу международного проекта «Морской старт», успешно запускающего коммерческие спутники по сей день.

Кто был первым

А как с дальними космическими миссиями? Пионерами в использовании гравитации космических тел для изменения траектории полёта были учёные из СССР. Обратная сторона нашего естественного спутника, как известно, впервые была сфотографирована советским аппаратом «Луна-1». Важно было, чтобы после облёта Луны аппарат успел вернуться к Земле так, чтобы та была обращена к нему северным полушарием. Ведь информацию (полученные фотоизображения) необходимо было передать людям, а станции слежения, тарелки радиоантенн находились именно в северном полушарии.

Не менее удачно удалось использовать гравитационные маневры для изменения траектории космического аппарата американским учёным. Межпланетному автоматическому кораблю «Маринер 10» после пролёта вблизи Венеры необходимо было уменьшить скорость, для того чтобы перейти на более низкую околосолнечную орбиту и исследовать Меркурий. Вместо того чтобы использовать для этого маневра реактивную тягу двигателей, скорость движения аппарата была замедлена гравитационным полем Венеры.

Как это работает

Согласно закону всемирного тяготения, открытого и подтверждённого экспериментально Исааком Ньютоном, все тела, обладающие массой, притягивают друг друга. Сила этого притяжения легко измеряется и рассчитывается. Она зависит как от массы обоих тел, так и от расстояния между ними. Чем ближе, тем сильнее. Причём с приближением тел друг к другу сила притяжения растёт в геометрической прогрессии.

На рисунке видно, как космические аппараты, пролетая вблизи крупного космического тела (некой планеты), меняют свою траекторию. Причём курс движения аппарата под номером 1, пролетающего дальше всех от массивного объекта, меняется совсем незначительно. Чего не скажешь об аппарате № 6. Планетоид меняет его направление полета кардинально.

Что такое гравитационная праща. Как она действует

Использование гравитационных маневров позволяет не только изменить направление движения космического корабля, но и скорректировать его скорость.

На рисунке изображена траектория космического корабля, обычно используемая для его разгона. Принцип действия такого маневра прост: на выделенном красным цветом участке траектории аппарат как будто догоняет убегающую от него планету. Гораздо более массивное тело силой своего притяжения увлекает меньшее за собой, разгоняя его.

Кстати, таким образом разгоняются не только космические корабли. Известно, что по галактике вовсю разгуливают небесные тела, не привязанные к звёздам. Это могут быть как сравнительно небольшие астероиды (один из которых, кстати, сейчас посещает Солнечную систему), так и планетоиды приличных размеров. Астрономы полагают, что именно гравитационная праща, т. е. воздействие более крупного космического тела, выбрасывает менее массивные объекты за пределы своих систем, обрекая их на вечные скитания в ледяном холоде пустого космоса.

Как снизить скорость

Но, применяя гравитационные маневры космических аппаратов, можно не только ускорять, но и замедлять их движение. Схема такого торможения показана на рисунке.

На выделенном красным цветом участке траектории притяжение планеты, в отличие от варианта с гравитационной пращей, будет затормаживать движение аппарата. Ведь вектор силы притяжения и направление полёта корабля противоположны.

В каких случаях это используется? В основном для выхода автоматических межпланетных станций на орбиты изучаемых планет, а также для изучения околосолнечных областей. Дело в том, что при движении к Солнцу или, например, к ближайшей к светилу планете Меркурию любой аппарат, если не применять мер для торможения, будет волей-неволей разгоняться. Наша звезда обладает невероятной массой и громадной силой притяжения. Набравший чрезмерную скорость космический аппарат не сможет выйти на орбиту Меркурия - самой маленькой планеты солнечного семейства. Корабль просто проскочит мимо, кроха Меркурий не сможет достаточно сильно притянуть его. Для торможения можно использовать двигатели. Но траектория полета к Солнцу с гравитационным маневром, скажем у Луны и затем Венеры, позволит минимизировать использование ракетной тяги. Значит, понадобится меньше топлива, и освободившийся вес можно будет использовать для размещения дополнительной исследовательской аппаратуры.

Попасть в игольное ушко

Если первые гравитационные маневры проводились робко и нерешительно, маршруты последних межпланетных космических миссий практически всегда планируются с гравитационной корректировкой. Всё дело в том, что сейчас астрофизикам, благодаря развитию компьютерной техники, а также наличию точнейших данных о телах Солнечной системы, в первую очередь их массе и плотности, доступны более точные вычисления. А рассчитывать гравитационный маневр необходимо чрезвычайно точно.

Чемпион по маневрам

За время работы аппарат посетил Сатурн, Юпитер, Уран и Нептун. На него на всём протяжении полета действовало притяжение Солнца, от которого корабль постепенно удалялся. Но, благодаря грамотно рассчитанным гравитационным маневрам, у каждой из планет его скорость не уменьшалась, а росла. У каждой исследованной планеты маршрут был построен по принципу гравитационной пращи. Без применения гравитационной коррекции «Вояджер» не удалось бы отправить так далеко.

Кроме «Вояджеров» гравитационные маневры были использованы при запуске таких всем известных миссий, как «Розетта» или «Новые горизонты». Так, «Розетта», прежде чем отправиться на поиски кометы Чурюмова-Герасименко, совершила аж 4 разгонных гравитационных маневра у Земли и Марса.

Гравитационный маневр — это способ изменить направление движения космического аппарата, а так же увеличить или уменьшить его скорость, используя гравитацию массивных объектов и не используя ценное топливо на борту космического аппарата.

Вероятно, о возможности подобного гравитационного маневра догадывались ещё античные астрономы и звездочеты древнего Вавилона, когда наблюдали движения комет, меняющих свою траекторию и скорость, когда пролетали рядом с другими небесными телами.

Принцип действия гравитационного маневра можно описать следующим образом: если космический аппарат сближается с внутренней стороной орбиты планеты, то его скорость замедляется. Если же аппарат пролет с внешней стороны орбиты планеты, то его скорость увеличится. Этот принцип действия напоминает работу пращника, метающего снаряды. Именно поэтому часто гравитационный маневр называют «гравитационной пращей».

Использование гравитационного маневра для торможения | www.commons.wikimedia.org/wiki/File:Swingby_dec_anim.gif Использование гравитационного маневра для ускорения | www.commons.wikimedia.org/wiki/File:Swingby_acc_anim.gif Следует понимать, что в системе отсчета, связанной с небесным объектом, который используется для гравитационного маневра (например, зонд проходит около Венеры), никакого положительно эффекта для космического аппарата наблюдаться не будет, кроме изменения его траектории полета. Однако относительно других небесных тел (например, Солнца) космический аппарат станет двигаться быстрее/медленнее.

Преимущества гравитационного маневра очевидны. Он позволяет увеличивать/замедлять скорость без необходимости включать двигатели, что ведет к большой экономии топлива. Меньше топлива — больше полезной нагрузки. Соответственно, на один космический аппарат умещается столько полезной нагрузки, сколько бы пришлось нести двум аппаратам, которые не использовали эффект «гравитационной пращи». Сэкономленные в результате деньги можно распределить на другие космические проекты.

Наверное, самым знаменитым аппаратом, использовавшим гравитационный маневр, стал американский «Вояджер-2». Благодаря системе разгонов и торможений, он слетал в турне по Солнечной системе по маршруту «Земля-Юпитер-Сатурн-Уран-Нептун». А сейчас, получив ускорение от планет, уже вышел за границы Солнечной системы.

Не менее интересен аппарат «Вояджер 1». Его текущая скорость в 17 км/с, достигнутая при помощи гравитационных маневров, является самой высокой среди всех рукотворных объектов человека, хотя при старте она была на порядок меньше.

К комбинации гравитационных маневров была вынуждена прибегнуть межпланетная станция «Кассини». Два раза использовав гравитационное поле Венеры и по одному разу Земли и Юпитера, аппарат разогнался до необходимой скорости, использовав при этом в 25 раз (!) меньше топлива, чем ему понадобилось бы без использования гравитационных маневров.

Это интересно: г равитационный маневр выгоднее всего применять вблизи объектов, обладающих большей скоростью и большей гравитацией. Идеальный кандидат на место такого объекта очевиден: звезды. Умы ученых давно будоражит идея пролететь на космическом аппарате вблизи нейтронных звезд. Согласно подсчетам, такой маневр смог бы разогнать корабль до 1/3 скорости света. Вот это величина! С такой скоростью межгалактические полеты уже не кажутся такими уж невозможными…

Иллюстрация: bigstockphoto | 3DSculptor

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter .

Если ракета пролетит рядом с планетой, её скорость изменится. Либо уменьшится, либо возрастёт. Это зависит от того, с какой стороны от планеты она пролетит.

Когда американские космические аппараты «Вояджеры» совершали свой знаменитый Гранд тур по внешней Солнечной системе, они выполнили несколько так называемых гравитационных манёвров вблизи планет-гигантов.
Больше всего повезло «Вояджеру-2», который пролетел мимо всех четырёх больших планет. График его скорости см. на рисунке:

Из графика видно, что после каждого сближения с планетой (кроме Нептуна), скорость космического аппарата возрастала на несколько километров в секунду.

На первый взгляд это может показаться странным: объект влетает в гравитационное поле и ускоряется, затем вылетает из поля и тормозится. Скорость прилёта должна равняться скорости вылета. Откуда появляется дополнительная энергия?
Дополнительная энергия появляется потому, что есть третье тело – Солнце. При пролёте рядом с планетой космический аппарат обменивается с ней импульсом и энергией. Если при таком обмене гравитационная энергия планеты в поле Солнца уменьшается, то кинетическая энергия космического аппарата (КА) увеличивается, и наоборот.

Как должен пролететь мимо планеты КА, чтобы его скорость возросла? Ответить на этот вопрос нетрудно. Пусть КА пересечет орбиту планеты прямо перед ней. В этом случае, получив дополнительный импульс в направлении на планету, он передаст ей дополнительный импульс в противоположном направлении, то есть в направлении её движения. В результате планета перейдёт на чуть более высокую орбиту, и её энергия возрастёт. Энергия КА при этом, соответственно, уменьшится. Если же КА пересечёт орбиту позади планеты, то он, чуть-чуть притормозив её движение, переведёт планету на более низкую орбиту. Скорость КА при этом возрастёт.

Конечно, масса КА несоизмерима с массой планеты. Поэтому изменение орбитальных параметров планеты при гравитационном манёвре бесконечно малая величина, не поддающаяся измерению. Тем не менее, энергия планеты изменяется, и мы можем убедиться в этом, проведя гравитационный манёвр и увидев, что скорость КА изменяется. Вот, к примеру, как пролетел «Вояджер-2» вблизи Юпитера 9 июля 1979 года (см. рис.). При подлёте к Юпитеру скорость космического аппарата составляла 10 км/сек. В момент максимального сближения она увеличилась до 28 км/сек. А после того, как «Вояджер-2» вылетел из гравитационного поля газового гиганта, уменьшилась до 20 км/сек. Таким образом, в результате гравитационного манёвра скорость космического аппарата возросла в два раза и стал гиперболической. То есть превысила скорость, необходимую для вылета из Солнечной системы. На орбите Юпитера скорость вылета из Солнечной системы около 18 км/сек.

Из этого примера видно, что Юпитер (или другая планета) может разогнать какое-нибудь тело до гиперболической скорости. А значит, он может «выбросить» это тело из Солнечной системы. Может быть, современные космогонисты правы? Может быть, действительно планеты-гиганты выбросили ледяные глыбы на далёкие окраины Солнечной системы и, таким образом, сформировали кометное облако Оорта.
Прежде чем ответить на этот вопрос, посмотрим, на какие гравитационные манёвры способны планеты?

2. Принципы гравитационного манёвра

Впервые я познакомился с гравитационным манёвром в 9-м классе на краевой олимпиаде по физике. Задача была такая. С Земли стартует ракета со скоростью V (достаточна, чтобы вылететь из поля притяжения). У ракеты есть двигатель с тягой F , который может работать время t . В какой момент времени нужно включить двигатель, чтобы конечная скорость ракеты была максимальная? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Сначала мне показалось, что не важно, когда включить двигатель. Ведь вследствие закона сохранения энергии, конечная скорость ракеты должна быть одинаковой в любом случае. Оставалось посчитать конечную скорость ракеты в двух случаях: 1. двигатель включаем в начале, 2. двигатель включаем после вылета из поля притяжения Земли. После чего сравнить результаты и убедиться, что конечная скорость ракеты в обоих случаях одинакова. Но потом я вспомнил, что мощность равна: сила тяги умножить на скорость. Поэтому мощность ракетного двигателя будет максимальна, если включить двигатель сразу на старте, когда скорость ракеты максимальна. Итак, правильный ответ: двигатель включаем сразу же, тогда конечная скорость ракеты будет максимальной.

И хотя я задачу решил правильно, но проблема осталась. Конечная скорость, а, значит, и энергия ракеты ЗАВИСИТ от того, в какой момент времени включить двигатель. Вроде бы явное нарушение закона сохранения энергии. Или нет? В чём тут дело? Энергия должна сохраняться! На все эти вопросы я пытался ответить уже после олимпиады.

Пусть у нас есть ракета массы М с двигателем, который создаёт тягу силой F . Поместим эту ракету в пустое пространство (вдали от звёзд и планет) и включим двигатель. С каким ускорением будет двигаться ракета? Ответ мы знаем из Второго закона Ньютона: ускорение a равно:

a = F/M

Масса ракеты также не изменяется (100 км/сек это ещё не релятивистский случай), поэтому и сила тяги F будет ТОЙ ЖЕ САМОЙ. И, следовательно, мощность ракеты ЗАВИСИТ от её скорости. Ведь мощность равна силе, умноженной на скорость. Получается, что если ракета движется со скоростью 100 км/сек, то мощность её двигателя в 100 раз мощнее, чем ТОЧНО ТАКОГО ЖЕ двигателя, находящегося на ракете, движущейся со скоростью 1 км/сек.

На первый взгляд это может показаться странным и даже парадоксальным. Откуда берётся огромная дополнительная мощность? Энергия ведь должна сохраняться!

Давайте разберёмся в этом вопросе.

Ракета всегда движется на реактивной тяге: она выбрасывает в космос различные газы с высокой скоростью. Для определённости предположим, что скорость выброса газов 10 км/сек. Если ракета движется со скоростью 1 км/сек, то её двигатель разгоняет в основном не ракету, а ракетное топливо. Поэтому мощность двигателя по разгону ракеты не высока. А вот если ракета движется со скоростью 10 км/сек, то выброшенное топливо будет ПОКОИТЬСЯ относительно внешнего наблюдателя, то есть, вся мощность двигателя будет тратится на разгон ракеты. А если ракета движется со скоростью 100 км/сек? В этом случае выброшенное топливо будет двигаться со скоростью 90 км/сек. То есть, скорость топлива УМЕНЬШИТСЯ от 100 до 90 км/сек. И ВСЯ разность кинетической энергии топлива в силу закона сохранения энергии будет передана ракете. Поэтому мощность ракетного двигателя при таких скоростях значительно возрастёт.

Проще говоря, у быстро двигающейся ракеты её топливо обладает огромной кинетической энергией. И из этой энергии черпается дополнительная мощность для разгона ракеты. Теперь осталось сообразить, как это свойство ракеты можно использовать на практике.

3. Практическое применение

Предположим, в недалёком будущем вы собрались лететь на ракете в систему Сатурна на Титан:

чтобы исследовать анаэробные формы жизни.

Долетели до орбиты Юпитера и выяснилось, что скорость ракеты упала почти до нуля. Не рассчитали как следует траекторию полёта или топливо оказалось контрафактным. А может, метеорит попал в топливный отсек, и почти всё топливо было потеряно. Что делать?

У ракеты есть двигатель и остался небольшой запас горючего. Но максимум, на что способен двигатель – увеличить скорость ракеты на 1 км/сек. Этого явно недостаточно, чтобы долететь до Сатурна. И вот пилот предлагает такой вариант.

«Входим в поле притяжения Юпитера и падаем на него. В результате Юпитер разгоняет ракету до огромной скорости – примерно 60 км/сек. Когда ракета разгонится до этой скорости, включаем двигатель. Мощность двигателя при такой скорости возрастёт многократно. Затем вылетаем из поля притяжения Юпитера. В результате такого гравитационного манёвра скорость ракеты возрастает не на 1 км/сек, а значительно больше. И мы сможем долететь до Сатурна».

Но кто-то возражает.

«Да, мощность ракеты вблизи Юпитера возрастёт. Ракета получит дополнительную энергию. Но, вылетая из поля притяжения Юпитера, мы всю эту дополнительную энергию потеряем. Энергия должна остаться в потенциальной яме Юпитера, иначе будет что-то вроде вечного двигателя, а это невозможно. Поэтому пользы от гравитационного манёвра не будет. Только зря время потратим».

Что вы об этом думаете?

Итак, ракета находится недалеко от Юпитера и почти неподвижна относительно него. У ракеты есть двигатель с топливом, которого хватит, чтобы увеличить скорость ракеты только на 1 км/сек. Чтобы повысить КПД двигателя, предлагается совершить гравитационный манёвр: «уронить» ракету на Юпитер. Она будет двигаться в его поле притяжения по параболе (см. фото). И в самой низкой точке траектории (помечена красным крестиком на фото) включить двигатель. Скорость ракеты вблизи Юпитера составит 60 км/сек. После того, как двигатель её дополнительно разгонит, скорость ракеты возрастёт до 61 км/сек. Какая скорость будет у ракеты, когда она вылетит из поля притяжения Юпитера?

Эта задача по силам школьнику старших классов, если, конечно, он хорошо знает физику. Сначала нужно написать формулу для суммы потенциальной и кинетической энергий. Затем вспомнить формулу для потенциальной энергии в поле тяготения шара. Посмотреть в справочнике, чему равна гравитационная постоянная, а также масса Юпитера и его радиус. Используя закон сохранения энергии и произведя алгебраические преобразования, получить общую конечную формулу. И наконец, подставив в формулу все числа и проделав вычисления, получить ответ. Я понимаю, что никому (почти никому) не охота вникать в какие-то формулы, поэтому постараюсь, не напрягая вас никакими уравнениями, объяснить решение этой задачи «на пальцах». Надеюсь, получится!

В точке, помеченной крестиком:

скорость ракеты 60 км/сек, а энергия 3600 единиц. 3600 единиц достаточно, чтобы вылететь из поля притяжения Юпитера. После разгона ракеты её скорость стала 61 км/сек, а энергия, соответственно, 61 в квадрате (берём калькулятор) 3721 единицы. Когда ракета вылетает из поля притяжения Юпитера, она тратит только 3600 единиц. Остаётся 121 единица. Это соответствует скорости (берём корень квадратный) 11 км/сек. Задача решена. Это не приближённый, а ТОЧНЫЙ ответ.

Мы видим, что гравитационный манёвр можно использовать для получения дополнительной энергии. Вместо того, чтобы разогнать ракету до 1 км/сек, её можно разогнать до 11 км/сек (энергия в 121 раз больше, КПД – 12 тысяч процентов!), если рядом будет какое-нибудь массивное тело вроде Юпитера.

За счёт чего мы получили ОГРОМНЫЙ энергетический выигрыш? За счёт того, что оставили израсходованное топливо не в пустом пространстве вблизи ракеты, а в глубокой потенциальной яме, созданной Юпитером. Израсходованное топливо получило большую потенциальную энергию со знаком МИНУС. Поэтому ракета получила большую кинетическую энергию со знаком ПЛЮС.

4. Поворот вектора скорости вблизи планеты

В самом общем виде эта задача выглядит так. Мы влетаем в поле тяготения Юпитера с какой-то скоростью. Затем вылетаем из поля. Изменится ли наша скорость? И как сильно она может измениться? Давайте решим эту задачу.

С точки зрения наблюдателя, который находится на Юпитере (а точнее, неподвижен относительно его центра масс), наш манёвр выглядит так. Сначала ракета находится на большом расстоянии от Юпитера и движется к нему со скоростью V . Затем, приближаясь к Юпитеру, она разгоняется. Траектория ракеты при этом искривляется и, как известно, в самом общем виде представляет собой гиперболу. Максимальная скорость ракеты будет при минимальном сближении. Здесь главное – не врезаться в Юпитер, а пролететь рядом с ним. После минимального сближения ракета начнёт удаляться от Юпитера, а её скорость будет уменьшаться. Наконец, ракета вылетит из поля притяжения Юпитера. Какая у неё будет скорость? Точно такая же, как и была при влёте. Ракета влетела в гравитационное поле Юпитера со скоростью V и вылетела из него с точно такой же скоростью V . Ничего не изменилось? Нет изменилось. Изменилось НАПРАВЛЕНИЕ скорости. Это важно. Благодаря этому мы можем совершить гравитационный манёвр.

Действительно, для нас ведь важна не скорость ракеты относительно Юпитера, а её скорость относительно Солнца. Это так называемая гелиоцентрическая скорость. С такой скоростью ракета движется по Солнечной системе. Юпитер тоже движется по Солнечной системе. Вектор гелиоцентрической скорости ракеты можно разложить на сумму двух векторов: орбитальная скорость Юпитера (примерно 13 км/сек) и скорость ракеты ОТНОСИТЕЛЬНО Юпитера. Здесь нет ничего сложного! Это обычное правило треугольника для сложения векторов, которое изучают в 7-м классе. И этого правила ДОСТАТОЧНО, чтобы понять суть гравитационного манёвра.

У нас есть четыре скорости. V 1 – это скорость нашей ракеты относительно Солнца ПЕРЕД гравитационным манёвром. U 1 – это скорость ракеты относительно Юпитера ПЕРЕД гравитационным манёвром. U 2 – это скорость ракеты относительно Юпитера ПОСЛЕ гравитационного манёвра. По величине U 1 и U 2 РАВНЫ, но по направлению они РАЗНЫЕ. V 2 – это скорость ракеты относительно Солнца ПОСЛЕ гравитационного манёвра. Чтобы увидеть, как все эти четыре скорости связаны между собой, посмотрим на рисунок:

Зелёная стрелка АО – это скорость движения Юпитера по своей орбите. Красная стрелка АВ – это V 1: скорость нашей ракеты относительно Солнца ПЕРЕД гравитационным манёвром. Жёлтая стрелка ОВ – это скорость нашей ракеты относительно Юпитера ПЕРЕД гравитационным манёвром. Жёлтая стрелка ОС – это скорость ракеты относительно Юпитера ПОСЛЕ гравитационного манёвра. Эта скорость ДОЛЖНА лежать где-то на жёлтой окружности радиуса ОВ. Потому что в своей системе координат Юпитер НЕ МОЖЕТ изменить величину скорости ракеты, а может только повернуть её на некоторый угол (альфа). И наконец, АС – это то, что нам нужно: скорость ракеты V 2 ПОСЛЕ гравитационного манёвра.

Посмотрите, как всё просто. Скорость ракеты ПОСЛЕ гравитационного манёвра АС равна скорости ракеты ДО гравитационного манёвра АВ плюс вектор ВС. А вектор ВС это ИЗМЕНЕНИЕ скорости ракеты в системе отсчёта Юпитера. Потому что ОС – ОВ = ОС + ВО = ВО + ОС = ВС. Чем сильнее повернётся вектор скорости ракеты относительно Юпитера, тем эффективнее будет гравитационный манёвр.

Итак, ракета БЕЗ горючего влетает в поле притяжения Юпитера (или другой планеты). Величина её скорости ДО и ПОСЛЕ манёвра относительно Юпитера НЕ ИЗМЕНЯЕТСЯ. Но из-за поворота вектора скорости относительно Юпитера, скорость ракеты относительно Юпитера всё-таки изменяется. И вектор этого изменения просто прибавляется к вектору скорости ракеты ДО манёвра. Надеюсь, всё понятно объяснил.

Общепринятый взгляд

В Солнечной системе есть особенные тела - кометы.
Комета - это небольшое тело размером несколько километров. В отличие от обычного астероида в состав кометы входят различные льды: водяной, углекислый, метановый и другие. Когда комета попадает внутрь орбиты Юпитера, эти льды начинают быстро испаряться, покидают вместе с пылью поверхность кометы и образуют так называемую кому - газопылевое облако, окружающее твёрдое ядро. Это облако простирается на сотни тысяч километров от ядра. Благодаря отражённому солнечному свету комета (не сама, а только облако) становится видимой. А благодаря световому давлению часть облака вытягивается в так называемый хвост, который тянется от кометы на многие миллионы километров (см. фото 2). Из-за очень слабой гравитации всё вещество комы и хвоста безвозвратно теряется. Поэтому пролетая вблизи Солнца, комета может потерять несколько процентов своей массы, а иногда и больше. Время её жизни по астрономическим меркам ничтожно.
Откуда же берутся новые кометы?

Согласно традиционной космогонии, они прилетают из так называемого облака Оорта. Общепринято, что на расстоянии ста тысяч астрономических единиц от Солнца (половина расстояния до ближайшей звезды) находится огромный резервуар комет. Ближайшие звёзды периодически возмущают этот резервуар, и тогда орбиты некоторых комет изменяются так, что их перигелий оказывается вблизи Солнца, газы на её поверхности начинают испаряться, образуя огромную кому и хвост, и комета становится видимой в телескоп, а иногда и невооружённым взглядом. На фотографии знаменитая Большая комета Хейла-Боппа, в 1997 году.

Как же образовалось облако Оорта? Общепринятый ответ такой. В самом начале формирования Солнечной системы в области планет-гигантов образовалось множество ледяных тел диаметром десять и более километров. Некоторые из них вошли в состав планет-гигантов и их спутников, а некоторые были выброшены на периферию Солнечной системы. Основную роль в этом процессе сыграл Юпитер, но Сатурн, Уран и Нептун также приложили к нему свои гравитационные поля. В самых общих чертах этот процесс выглядел так: комета пролетает вблизи мощного гравитационного поля Юпитера, и он изменяет её скорость так, что она оказывается на периферии Солнечной системы.

Правда, этого недостаточно. Если перигелий кометы будет внутри орбиты Юпитера, а афелий - где-то на периферии, то её период, как нетрудно рассчитать, составит несколько миллионов лет. За время существования Солнечной системы такая комета успеет приблизиться к Солнцу почти тысячу раз и весь её газ, который может испариться, испарится. Поэтому предполагается, что когда комета окажется на периферии, то там возмущения от ближайших звёзд так изменят её орбиту, что перигелий также окажется очень далеко от Солнца.

Итак, получается четырёхступенчатый процесс. 1. Юпитер выбрасывает кусок льда на периферию Солнечной системы. 2. Ближайшая звезда изменяет его орбиту так, что перигелий орбиты также оказывается далеко от Солнца. 3. На такой орбите кусок льда пребывает в целости и сохранности почти несколько миллиардов лет. 4. Другая, проходящая рядом звезда, снова возмущает его орбиту так, что перигелий оказывается вблизи Солнца. В результате, кусок льда прилетает к нам. И мы видим его, как новую комету.

Современным космогонистам всё это кажется вполне правдоподобным. Но так ли это? Давайте внимательно разберём все четыре ступени.

ГРАВИТАЦИОННЫЙ МАНЁВР

Первое знакомство

Впервые я познакомился с гравитационным манёвром в 9-м классе на краевой олимпиаде по физике. Задача была такая.
С Земли стартует ракета со скоростью V (достаточна, чтобы вылететь из поля притяжения). У ракеты есть двигатель с тягой F, который может работать время t. В какой момент времени нужно включить двигатель, чтобы конечная скорость ракеты была максимальная? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Сила тяги ракеты ЗАВИСИТ от её скорости. Это важный момент, и его стоит обсудить.
Пусть у нас есть ракета массы М с двигателем, который создаёт тягу силой F. Поместим эту ракету в пустое пространство (вдали от звёзд и планет) и включим двигатель. С каким ускорением будет двигаться ракета? Ответ мы знаем из Второго закона Ньютона: ускорение А равно:
А = F/M

Теперь перейдём в другую инерциальную систему отсчёта, в которой ракета движется с большой скоростью, скажем, 100 км/сек. Чему равно ускорение ракеты в этой системе отсчёта?
Ускорение НЕ ЗАВИСИТ от выбора инерциальной системы отсчёта, поэтому оно будет ТЕМ ЖЕ САМЫМ:
А = F/M
Масса ракеты также не изменяется (100 км/сек это ещё не релятивистский случай), поэтому и сила тяги F будет ТОЙ ЖЕ САМОЙ.
И, следовательно, мощность ракеты ЗАВИСИТ от её скорости. Ведь мощность равна силе, умноженной на скорость. Получается, что если ракета движется со скоростью 100 км/сек, то мощность её двигателя в 100 раз мощнее, чем ТОЧНО ТАКОГО ЖЕ двигателя, находящегося на ракете, движущейся со скоростью 1 км/сек.

На первый взгляд это может показаться странным и даже парадоксальным. Откуда берётся огромная дополнительная мощность? Энергия ведь должна сохраняться!
Давайте разберёмся в этом вопросе.
Ракета всегда движется на реактивной тяге: она выбрасывает в космос различные газы с высокой скоростью. Для определённости предположим, что скорость выброса газов 10 км/сек. Если ракета движется со скоростью 1 км/сек, то её двигатель разгоняет в основном не ракету, а ракетное топливо. Поэтому мощность двигателя по разгону ракеты не высока. А вот если ракета движется со скоростью 10 км/сек, то выброшенное топливо будет ПОКОИТЬСЯ относительно внешнего наблюдателя, то есть, вся мощность двигателя будет тратится на разгон ракеты. А если ракета движется со скоростью 100 км/сек? В этом случае выброшенное топливо будет двигаться со скоростью 90 км/сек. То есть, скорость топлива УМЕНЬШИТСЯ от 100 до 90 км/сек. И ВСЯ разность кинетической энергии топлива в силу закона сохранения энергии будет передана ракете. Поэтому мощность ракетного двигателя при таких скоростях значительно возрастёт.

Проще говоря, у быстро двигающейся ракеты её топливо обладает огромной кинетической энергией. И из этой энергии черпается дополнительная мощность для разгона ракеты.

Теперь осталось сообразить, как это свойство ракеты можно использовать на практике.

Попытка практического применения

Предположим, в недалёком будущем вы собрались лететь на ракете в систему Сатурна на Титан (см. фото 1-3), чтобы исследовать анаэробные формы жизни. Долетели до орбиты Юпитера и выяснилось, что скорость ракеты упала почти до нуля. Не рассчитали как следует траекторию полёта или топливо оказалось контрафактным :) . А может, метеорит попал в топливный отсек, и почти всё топливо было потеряно. Что делать?

У ракеты есть двигатель и остался небольшой запас горючего. Но максимум, на что способен двигатель - увеличить скорость ракеты на 1 км/сек. Этого явно недостаточно, чтобы долететь до Сатурна. И вот пилот предлагает такой вариант.
«Входим в поле притяжения Юпитера и падаем на него. В результате Юпитер разгоняет ракету до огромной скорости - примерно 60 км/сек. Когда ракета разгонится до этой скорости, включаем двигатель. Мощность двигателя при такой скорости возрастёт многократно. Затем вылетаем из поля притяжения Юпитера. В результате такого гравитационного манёвра скорость ракеты возрастает не на 1 км/сек, а значительно больше. И мы сможем долететь до Сатурна».
Но кто-то возражает.
«Да, мощность ракеты вблизи Юпитера возрастёт. Ракета получит дополнительную энергию. Но, вылетая из поля притяжения Юпитера, мы всю эту дополнительную энергию потеряем. Энергия должна остаться в потенциальной яме Юпитера, иначе будет что-то вроде вечного двигателя, а это невозможно. Поэтому пользы от гравитационного манёвра не будет. Только зря время потратим».

Если ракета неподвижна, её кинетическая энергия равна нулю. А если ракета движется со скоростью 1 км/сек, то будем считать, что её энергия 1 единица. Соответственно, если ракета движется со скоростью 2 км/сек, то её энергия 4 единицы, если 10 км/сек, то 100 единиц и т.д. Это понятно. Половину задачи мы уже решили.
В точке, помеченной крестиком (см. фото), скорость ракеты 60 км/сек, а энергия 3600 единиц. 3600 единиц достаточно, чтобы вылететь из поля притяжения Юпитера. После разгона ракеты её скорость стала 61 км/сек, а энергия, соответственно, 61 в квадрате (берём калькулятор) 3721 единицы. Когда ракета вылетает из поля притяжения Юпитера, она тратит только 3600 единиц. Остаётся 121 единица. Это соответствует скорости (берём корень квадратный) 11 км/сек. Задача решена. Это не приближённый, а ТОЧНЫЙ ответ.

Мы видим, что гравитационный манёвр можно использовать для получения дополнительной энергии. Вместо того, чтобы разогнать ракету до 1 км/сек, её можно разогнать до 11 км/сек (энергия в 121 раз больше, КПД - 12 тысяч процентов!), если рядом будет какое-нибудь массивное тело вроде Юпитера.

Поворот вектора

Предположим, мы пролетаем на ракете вблизи Юпитера и хотим увеличить её скорость. Но топлива у нас НЕТ. Скажем так, у нас есть немного топлива, чтобы подкорректировать свой курс. Но его явно недостаточно, чтобы заметно разогнать ракету. Можем ли мы заметно увеличить скорость ракеты, используя гравитационный манёвр?
В самом общем виде эта задача выглядит так. Мы влетаем в поле тяготения Юпитера с какой-то скоростью. Затем вылетаем из поля. Изменится ли наша скорость? И как сильно она может измениться?
Давайте решим эту задачу.

С точки зрения наблюдателя, который находится на Юпитере (а точнее, неподвижен относительно его центра масс), наш манёвр выглядит так. Сначала ракета находится на большом расстоянии от Юпитера и движется к нему со скоростью V. Затем, приближаясь к Юпитеру, она разгоняется. Траектория ракеты при этом искривляется и, как известно, в самом общем виде представляет собой гиперболу. Максимальная скорость ракеты будет при минимальном сближении. Здесь главное - не врезаться в Юпитер, а пролететь рядом с ним. После минимального сближения ракета начнёт удаляться от Юпитера, а её скорость будет уменьшаться. Наконец, ракета вылетит из поля притяжения Юпитера. Какая у неё будет скорость? Точно такая же, как и была при влёте. Ракета влетела в гравитационное поле Юпитера со скоростью V и вылетела из него с точно такой же скоростью V. Ничего не изменилось? Нет изменилось. Изменилось НАПРАВЛЕНИЕ скорости. Это важно. Благодаря этому мы можем совершить гравитационный манёвр.

У нас есть четыре скорости. U(1) - это скорость нашей ракеты относительно Солнца ПЕРЕД гравитационным манёвром. V(1) - это скорость ракеты относительно Юпитера ПЕРЕД гравитационным манёвром. V(2) - это скорость ракеты относительно Юпитера ПОСЛЕ гравитационного манёвра. По величине V(1) и V(2) РАВНЫ, но по направлению они РАЗНЫЕ. U(2) - это скорость ракеты относительно Солнца ПОСЛЕ гравитационного манёвра. Чтобы увидеть, как все эти четыре скорости связаны между собой, посмотрим на рисунок.

Зелёная стрелка АО - это скорость движения Юпитера по своей орбите. Красная стрелка АВ - это U(1): скорость нашей ракеты относительно Солнца ПЕРЕД гравитационным манёвром. Жёлтая стрелка ОВ - это скорость нашей ракеты относительно Юпитера ПЕРЕД гравитационным манёвром. Жёлтая стрелка ОС - это скорость ракеты относительно Юпитера ПОСЛЕ гравитационного манёвра. Эта скорость ДОЛЖНА лежать где-то на жёлтой окружности радиуса ОВ. Потому что в своей системе координат Юпитер НЕ МОЖЕТ изменить величину скорости ракеты, а может только повернуть её на некоторый угол (альфа). И наконец, АС - это то, что нам нужно: скорость ракеты U(2) ПОСЛЕ гравитационного манёвра.

Посмотрите, как всё просто. Скорость ракеты ПОСЛЕ гравитационного манёвра АС равна скорости ракеты ДО гравитационного манёвра АВ плюс вектор ВС. А вектор ВС это ИЗМЕНЕНИЕ скорости ракеты в системе отсчёта Юпитера. Потому что ОС - ОВ = ОС + ВО = ВО + ОС = ВС. Чем сильнее повернётся вектор скорости ракеты относительно Юпитера, тем эффективнее будет гравитационный манёвр.

Чтобы лучше понять суть гравитационного манёвра, разберём его на примере Вояджера-2, который пролетел вблизи Юпитера 9 июля 1979 года. Как видно из графика (см. фото), он подлетел к Юпитеру со скоростью 10 км/сек, а вылетел из его поля тяготения со скоростью 20 км/сек. Только два числа: 10 и 20.
Вы удивитесь, сколько можно извлечь информации из этих чисел:
1. Мы рассчитаем, какая скорость была у Вояджера-2, когда он вылетел из поля тяготения Земли.
2. Найдём угол, под которым аппарат приближался к орбите Юпитера.
3. Вычислим минимальное расстояние, на которое Вояджер-2 подлетел к Юпитеру.
4. Узнаем, как выглядела его траектория относительно наблюдателя, находящегося на Юпитере.
5. Найдём угол, на который отклонился космический аппарат после встречи с Юпитером.

Мы не будем использовать сложные формулы, а проделаем расчёты, как обычно, «на пальцах», иногда используя простые рисунки. Тем не менее, ответы, которые мы получим, будут точные. Скажем так, они, возможно, будут не точными, потому что числа 10 и 20, скорее всего, не точные. Они взяты из графика и округлены. Кроме того, другие числа, которые мы будем использовать, тоже будем округлять. Ведь нам важно разобраться в гравитационном манёвре. Поэтому примем числа 10 и 20 за точные, чтобы было от чего отталкиваться.

Решим 1-ю задачу.
Условимся считать, что энергия Вояджера-2, двигающегося со скоростью 1 км/сек - это 1 единица. Минимальная скорость вылета из Солнечной системы с орбиты Юпитера составляет 18 км/сек. График этой скорости есть на фото, а находится она так. Нужно орбитальную скорость Юпитера (примерно 13 км/сек) умножить на корень из двух. Если бы Вояджер-2 при подлёте к Юпитеру имел скорость 18 км/сек (энергия 324 единицы), то его полная энергия (сумма кинетической и потенциальной) в поле тяготения Солнца ТОЧНО равнялась бы нулю. Но скорость Вояджера-2 была только 10 км/сек, а энергия 100 единиц. То есть, меньше на величину:
324-100 = 224 единицы.
Этот недостаток энергии СОХРАНЯЕТСЯ при движении Вояджера-2 от Земли к Юпитеру.
Минимальная скорость вылета из Солнечной системы с орбиты Земли составляет примерно 42 км/сек (чуть больше). Чтобы её найти, нужно орбитальную скорость Земли (примерно 30 км/сек) умножить на корень из двух. Если бы Вояджер-2 двигался от Земли со скоростью 42 км/сек, его кинетическая энергия была бы 1764 единицы (42 в квадрате), а полная - НОЛЬ. Как мы уже выяснили, энергия Вояджера-2 была меньше на 224 единицы, то есть 1764 - 224 = 1540 единицы. Берём из этого числа корень и находим скорость, с которой Вояджер-2 вылетел из поля притяжения Земли: 39,3 км/сек.

Когда с Земли запускают космический аппарат во внешнюю часть Солнечной системы, то запускают его, как правило, вдоль орбитальной скорости движения Земли. В этом случае скорость движения Земли ПРИБАВЛЯЕТСЯ к скорости аппарата, что приводит к огромному выигрышу энергии.

А как решается вопрос с НАПРАВЛЕНИЕМ скорости? Очень просто. Выжидают пока Земля достигнет нужной части свой орбиты, чтобы направление её скорости было то, которое нужно. Скажем, при запуске ракеты на Марс существует небольшое «окно» во времени, в которое очень удобно совершить запуск. Если, по какой-то причине запуск провести не удалось, то следующая попытка, можно быть уверенным, будет не раньше, чем через два года.

Когда в конце 70-х годов прошлого века планеты-гиганты выстроились в определённом порядке, то многие учёные - специалисты по небесной механике предложили воспользоваться счастливой случайностью в расположении этих планет. Был предложен проект, как с минимальными затратами осуществить Гранд тур - путешествие сразу по ВСЕМ планетам-гигантам. Что и было с успехом сделано.
Если бы у нас были неограниченные ресурсы и запасы горючего, то мы могли бы летать куда захотим и когда захотим. Но так как энергию приходится экономить, то учёные осуществляют только энергетически выгодные перелёты. Можно быть уверенным, что Вояджер-2 запускали вдоль направления движения Земли.
Как мы рассчитали раньше, его скорость относительно Солнца составляла 39,3 км/сек. Когда Вояджер-2 долетел до Юпитера, его скорость понизилась до 10 км/сек. А куда она была направлена?
Проекцию этой скорости на орбитальную скорость Юпитера можно найти из закона сохранения момента импульса. Радиус орбиты Юпитера в 5,2 раза больше, чем орбиты Земли. Значит, нужно 39,3 км/сек поделить на 5,2. Получаем 7,5 км/сек. То есть, косинус нужного нам угла равен 7,5 км/сек (проекция скорости Вояджера) разделить 10 км/сек (скорость Вояджера), получаем 0,75. А сам угол равен 41 градус. Под таким углом Вояджер-2 подлетел к орбите Юпитера.

Зная скорость Вояджера-2 и направление его движения, мы можем начертить геометрическую схему гравитационного манёвра. Делается это так. Выбираем точку А и проводим из неё вектор орбитальной скорости Юпитера (13 км/сек в выбранном масштабе). Конец этого вектора (зелёная стрелка) обозначаем буквой О (см. фото 1). Затем из точки А проводим вектор скорости Вояджера-2 (10 км/сек в выбранном масштабе) под углом в 41 градус. Конец этого вектора (красная стрелка) обозначаем буквой В.
Теперь строим окружность (жёлтый цвет) с центром в точке О и радиусом |ОВ| (см. фото 2). Конец вектора скорости и до, и после гравитационного манёвра может лежать только на этой окружности. Теперь проводим окружность радиусом 20 км/сек (в выбранном масштабе) с центром в точке А. Это скорость Вояджера после гравитационного манёвра. Она пересекается с жёлтой окружностью в некоторой точке С.

Мы начертили гравитационный манёвр, который совершил Вояджер-2 9 июля 1979 года. АО - это вектор орбитальной скорости Юпитера. АВ - это вектор скорости, с которой Вояджер-2 приближался к Юпитеру. Угол ОАВ равен 41 градус. АС - это вектор скорости Вояджера-2 ПОСЛЕ гравитационного манёвра. Из чертежа видно, что угол ОАС равен примерно 20 градусов (половина угла ОАВ). При желании этот угол можно рассчитать точно, так как все треугольники на чертеже заданы.
ОВ - это вектор скорости, с которой Вояджер-2 приближался к Юпитеру, С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ наблюдателя на Юпитере. ОС - вектор скорости Вояджера после манёвра относительно наблюдателя на Юпитере.

Если бы Юпитер не вращался, а вы находились бы в подсолнечной стороне (Солнце - в зените), то вы увидели бы, что Вояджер-2 движется с Запада на Восток. Сначала он появился в западной части неба, затем, приближаясь, достиг Зенита, пролетев рядом с Солнцем, а потом скрылся за горизонтом на Востоке. Вектор его скорости развернулся, как видно из чертежа, примерно на 90 градусов (угол альфа).